¿Qué son las permutaciones y combinatorias?

1- Factorial de un número

En este apartado veremos técnicas de conteo, pero antes de entrar a esta materia, debemos comprender ¿Qué es el factorial de un número?

El factorial de un número es la multiplicación reiterada del número por todos los antecesores hasta llegar al 1. El factorial de un numero se representa como (!). 

Ejemplo 1:

Encuentre el factorial de los siguientes números.

4!
5!

Como queremos encontrar el factorial de un número debemos multiplicar el número por todos los antecesores hasta llegar al 1. O sea:

 

$$\begin{gathered} 4!=4·3·2·1 \\ \mathbf{4}\mathbf{!}\mathbf{=}\mathbf{24} \end{gathered}$$

Ahora para encontrar el factorial de 5 nos queda:

 

$$\begin{gathered} 5!=5·4·3·2·1 \\ \mathbf{5}\mathbf{!}\mathbf{=}\mathbf{120} \end{gathered}$$

A modo general el factorial de un número enésimo quedaría:

 

$n!=n·(n–1)·(n–2)·(n–3)\dots \dots \dots \dots \dots \dots ·1$

 

 

2- Técnicas de conteo

Uno de los mayores problemas al momento de estudiar las probabilidades es el conteo de todos los posibles casos de un experimento a realizar. Una de las técnicas de conteo más conocidas es el principio multiplicativo, en el cual solo se encarga de multiplicar todas las posibilidades de cada uno de los experimentos.

Pero existen otras técnicas más complejas como son variación, combinatoria y permutación. Para poder entender cada uno de estos es imposible comprender una pregunta muy importante ¿Importa el orden de los factores? Ya que esa pregunta es crucial al momento de descifrar si estamos al frente de una variación, combinatoria y permutación. 

Al realizarnos esa pregunta tenemos dos posibles respuestas.

A) Si importa el orden: Si en el experimento el orden es importante entonces estamos al frente de una permutación o variación.

B) No importa el orden: Si en el experimento el orden no importa entonces estamos al frente de una combinatoria.

En este documento trabajaremos las técnicas de permutaciones y combinatorias, la variación no se trabajará ya que entendiendo la permutación se puede entender la variación.

 

3- Permutaciones

La permutación tiene ciertas características importantes para poder entender cómo aplicarlas las cuales son:

– Se involucran todos los elementos.

– Si importa el orden.

La permutación y la variación es lo mismo la diferencia radica en que la variación se agrupan los elementos dejando elementos sueltos, o sea si tengo 5 elementos puedo agruparlos en grupos de a 2 de a 3 o de a 4. Ya que no se debe tomar todos los elementos, siempre debe quedar alguno suelto. En cambio, la permutación es una variación, pero tomando todos los elementos o sea si tengo 5 elementos debo agrupar los 5 juntos no se puede dejar elementos sueltos. Esa es la gran diferencia entre estas dos técnicas. Una deja elementos sueltos y la otra no puede dejar ningún elemento suelto.

Tomando esta diferencia radical.
Si tengo una variación de n elementos y los quiero agrupar en grupos de r elementos entonces se debe aplicar la siguiente fórmula:

 

$V_r^n=\frac{n!}{(n–r)!}$

 

Pero si quiero hacer una permutación eso quiere decir que se debe cumplir que:

$n=r$

Ya que se deben tomar todos los elementos entonces aplicando esa igualdad en la fórmula de variación quedaría:

 

$$\begin{gathered} P_n^n=\frac{n|}{(n–n)!} \\ {P}_n^n=\frac{n!}{0!} \end{gathered}$$

Como sabemos el factorial de 0 es 1. Entonces:

 

$$\begin{gathered} P_n^n=\frac{n!}{1} \\ {P}_n^n=n! \end{gathered}$$

 

Por lo tanto, la fórmula de la permutación es la siguiente:

$nPr=n!$

Ahora veremos uno ejemplos para poder comprender de mejor manera la permutación.

Ejemplo 2:

¿Cuántos números de 5 cifras diferentes se puede formar con los números 1,2,3,4,5?

Solución:

Tenemos 5 cifras y queremos formar números de 5 cifras por lo tanto debemos agrupar todos los dígitos juntos. O sea, no debe quedarnos ningún número fuera de la agrupación. 

Como debemos formar números debemos comprender que el 12 es distinto al 21. Por lo tanto, el orden sí importa, ya que si intercambiamos los dígitos de orden se forman números distintos. 

Con esas dos condiciones mencionadas anteriormente podemos deducir que estamos al frente de una permutación. Ya que debemos agrupar todos los dígitos y si importa el orden. Entonces debemos aplicar la fórmula de permutación quedando:

$P_n=n!$

Como son 5 los dígitos que debemos permutar entonces $\mathit{n}\mathbf{=}\mathbf{5}$.

Reemplazando en la fórmula nos queda:

 

$$\begin{gathered} P_5=5! \\ {P}_5=5·4·3·2·1 \\ {\mathit{P}}_{\mathbf{5}}\mathbf{=}\mathbf{120} \end{gathered}$$

Eso quiere decir que se pueden formar 120 números distintos de 5 cifras con los dígitos 1,2,3,4,5.

Ejemplo 3:

¿De cuántas maneras distintas se pueden sentar 8 personas en una fila de butacas?

Solución:

Como nos damos cuenta debemos ordenar las 8 personas, sin dejar de lado a ninguna de estas. Si intercambiamos de orden las personas en las butacas tendremos ordenamientos distintos. Por lo tanto, el orden sí importa. 
Como nos importa el orden y a la vez debemos agrupar a todas las personas entonces debemos aplicar la fórmula de permutación.

Recordemos que:

$P_n=n!$

Como son 8 personas entonces $n=8$.

Reemplazando en la fórmula de permutación nos queda:

$$\begin{gathered} P_8=8! \\ {P}_8=8·7·6·5·4·3·2·1 \\ {P}_8=40 320 \end{gathered}$$

Eso quiere decir que las 8 personas se pueden ordenar de 40 320 formas distintas.

Ejemplo 4:

Una mesa presidencial está formada por 8 personas ¿De cuántas formas distintas se pueden sentar, si el presidente y el secretario siempre van juntos?

Solución:

La mesa presidencial tiene 8 personas más el presidente, por lo tanto, son 9 personas. 

Es una permutación porque debemos considerar las 9 personas para poder ordenarlos en la mesa y porque el orden importa ya que al ordenarlas se forman formas distintas de ordenamiento.

Pero tenemos una condición más el presidente debe estar al lado del secretario, por lo tanto, debemos tener dos permutaciones:

La primera es tomando en cuenta al presidente y secretario o sea una permutación de 2 personas.

La segunda tomando en cuenta las otras 7 personas restantes.

Hacemos esta diferencia porque dice el enunciado que el presidente debe estar al lado del secretario por esta razón se hace esa separación mencionada. Entonces nos quedaría:

 

$$\begin{gathered} P_2·P_7 \\ 2·1·7·6·5·4·3·2·1 \\ 2·5 040 \\ 10 080 \end{gathered}$$

Eso quiere decir que se pueden sentar de 10 080 formas distintas en la mesa presidencial.

 

4- Combinatorias

La combinatoria tiene las siguientes características:

– No importa el orden.

– No se agrupan todos los elementos.

En las combinatorias se deben agrupar los elementos en grupos, pero siempre debe sobrar un elemento como mínimo. O sea, si tenemos 5 elementos podemos agruparlos en grupos de 1 elemento, 2, 3 o 4 elementos. 

Se podría decir que la combinatoria es una variación pero que no importa el orden ya que la variación sí importa el orden, pero en la combinatoria no importa el orden.

Si tengo n elementos y quiero agruparlos en grupos de r elementos, entonces como es combinatoria se debe aplicar la siguiente formula:

$C_r^n=\frac{n!}{(n–r)!·r!}$

Ahora veremos ciertos ejemplos para poder comprender de mejor manera la combinatoria:

 

Ejemplo 5:

¿De cuántas formas pueden mezclarse los 7 colores del arcoíris tomándolos de tres en tres?

Solución:

En este ejercicio el orden no importa ya que no afecta la mezcla de colores, o sea si mezclo rojo y verde es lo mismo que mezclar verde y rojo, entonces el orden no importa, así mismo debo agrupar los colores de tres en tres o sea no debo agrupar todos los elementos, deben quedarme elementos sueltos. 

Tomando en cuenta esas dos condiciones, nos podemos dar cuenta que estamos al frente de una combinatoria.

La fórmula de combinatoria es la siguiente:

 

$C_n^k=\frac{n!}{(n–k)!·k!}$

 

Según los datos del ejercicio tenemos que n=7 (por ser siete elementos);k=3 (porque se agrupan de tres en tres).

Reemplazando en la formula nos queda:

 

$$\begin{gathered} C_7^3=\frac{7!}{(7–3)!·3!} \\ {C}_7^3=\frac{7·6·5·4·3·2·1}{4!·3!} \\ {C}_7^3=\frac{5 040}{24·6} \\ {C}_7^3=\frac{5 040}{144} \\ {\mathit{C}}_{\mathbf{7}}^{\mathbf{3}}\mathbf{=}\mathbf{35} \end{gathered}$$

Eso quiere decir que los siete colores del arcoíris al agruparlo en grupos de 3 colores se pueden combinar de 35 formas distintas.

 

Ejemplo 6:

A una reunión asisten 10 personas y se intercambian saludos entre todos. ¿Cuántos saludos se han intercambiado en la reunión?

Solución:

Sabemos que los saludos se deben hacer de a dos personas, por lo tanto, debemos agrupar a las 10 personas en grupos de a 2 personas. Por otro lado, si la persona 1 se saluda con la persona 2. Es lo mismo que la persona 2 se haya saludado con la persona 1. Por lo tanto, el orden no importa. Tomando en cuenta esas dos condiciones podemos deducir que estamos al frente de una combinatoria. 
Recordemos que la fórmula de combinatoria es la siguiente:

 

$C_n^k=\frac{n!}{(n–k)!·k!}$

 

En el ejercicio tenemos queda: n=10 y k=2.

Al reemplazar en la formula nos queda:

 

$$\begin{gathered} C_{10}^2=\frac{10!}{(10–2)!·2!} \\ {C}_{10}^2=\frac{10·9·8!}{8!*2!} \\ {C}_{10}^2=\frac{90}{2} \\ {\mathit{C}}_{\mathbf{10}}^{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{45} \end{gathered}$$

 

Eso quiere decir que se pueden intercambiar 45 saludos en la reunión de 10 personas.

Ejemplo 7:

¿Cuántos triángulos se pueden formar en un pentágono?
 
Solución:

Para poder formar un triángulo se deben formar tomando solo tres vértices de los 5 vértices que tiene el pentágono. 
Eso quiere decir que se deben formar grupos de 3 vértices. El orden no importa en este tipo de ejercicios. Por lo tanto, estamos al frente de una combinatoria.

La fórmula de combinatoria es la siguiente:

$C_n^k=\frac{n!}{(n–k)!·k!}$

 

En el ejercicio tenemos queda: $n=5 y k=3$.

Al reemplazar en la formula nos queda:

 

$$\begin{gathered} C_5^3=\frac{5!}{(5–3)!·3!} \\ {C}_5^3=\frac{5!}{(2!·3!)} \\ {C}_5^3=\frac{5·4·3·2·1}{2·1·3·2·1} \\ {C}_5^3=\frac{120}{12} \\ {\mathit{C}}_{\mathbf{5}}^{\mathbf{3}}\mathbf{=}\mathbf{10} \end{gathered}$$

O sea, se pueden formar 10 triángulos distintos.